Bentuk Aljabar

   Bentuk Aljabar

1.    Pengertian Variabel, Suku, Faktor, Koefisien, Konstanta, dan Suku Sejenis

Perhatikan bentuk x + 3 dengan x merupakan pengganti pada bilangan bulat! Jika x diganti - 2 , diperoleh x + 3 = -2 + 3. Jika x di ganti 0, diperoleh x + 3 = 0 + 3. Jika x di ganti 100, diperoleh x + 3 = 100 + 3. Simbol atau notasi x pada contoh di atas disebut variabel.

Bentuk-bentuk seperti 2p², x²-x+4, 2ax-1 dan (x+2)(x-5) disebutbentuk-bentuk aljabar. Bentuk-bentuk aljabar, seperti 2p² artinya 2 x p x p. 2p² adalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor dari 2p² adalah 2, p, p², dan 2p. Faktor yang berupa konstanta disebut koefisien.

Bentuk x² – x - 4 disebut bentuk aljabar suku tiga dengan x², -x, dan -4 sebagai suku-sukunya.Koefisien dari x² adalah 1 dan koefisien dari x adalah -1.

Pada bentuk aljabar 2ax - 1 dan x² – x + 4, suku-suku 2ax dan –x adalah suku-suku dengan variabel yang sama, yaitu x.Suku-suku seperti ini disebut suku-suku yang sejenis, sedangkan 2ax dan x² adalah suku-suku dengan variabel yang berbeda dan suku-suku seperti ini disebutsuku-suku tidak sejenis.  

2.    Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

a.      Menjumlahkan dan Mengurangkan Bentuk Aljabar

Untuk memahami operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk – bentuk aljabar, perhatikan situasi berikut.

Dalam tas Ihsan terdapat 10 buku dan 7 pensil. Selanjutnya, ke dalam tas itu dimasukkan 2 buku dan dari tas itu diambil 3 pensil. Dalam tas Ihsan tentu sekarang ada ( 10 + 2 ) buku dan ( 7 – 3) pensil atau 12 buku dan 4 pensil.

Jika dalam tas Ihsan banyak buku dinyatakan dalam x dan banyak pensil dinyatakan dengan huruf y maka situasi tas ihsan semula adalah 10x + 7y kemudian terjadi 2x – 3y sehingga situasi tas Ihsan menjadi ( 10x + 7y) + ( 2x – 3y) atau (10 + 2) x + (7 - 3) y atau 12x + 4y.

Dari situasi di atas dapat dimengerti bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapat dikerjakan pada suku-sukuyang sejenis dengan penjumlahan atau pengurangan koefisien pada suku-suku sejenis.

Bidang Koordinat Cartesius

MENENTUKAN TITIK PADA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Bidang datar disamping disebut bidang koordinat yang dibentuk oleh garis tegak Y (sumbu Y)  dan garis mendatar X (sumbu X). Titik perpotongan antara garis Y dan garis X disebut pusat Koordinat (titik O). Bidang koordinat tersebut dikenal dengan bidang koordinat Cartesius. Bidang koordinat Cartesius digunakan untuk menentukan letak sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan bilangan. Perhatikan titik A, B, C, dan D padabidang tersebut. Untuk menentukan letaknya, mulailah dari titik O. Kemudian, bergerak mendatar kea rah kanan (sumbu X), lalu bergerak ke atas (sumbu Y).

Letak titik pada bidang koordinat Cartesius ditulis dalam bentuk pasangan bilangan (x, y): x disebut absis dan y disebut ordinat. Pada bidang koordinat tersebut, titik A terletak pada koordinat (1,0), ditulis A(1,0), titik B terletak pada koordinat (2,4), ditulis B(2,4), titik C terletak pada koordinat (5,7), ditulis dengan C(5,7), dan titik D terletak pada koordinat (6,4) ditulis D(6,4).

Bidang koordinat Cartesius dapat diperluas menjadi seperti pada gambar berikut ini:

Contoh:

• Koordinat titik E adalah (2,2)
• Koordinat titik F adalah (-2,1), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak dua satuan lalu tegak keatas sebanyak satu satuan.
• Koordinat titik G adalah (-3,-3), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak tiga satuan lalu tegak ke bawah sebanyak tiga satuan.

Perbandingan

Perbandingan 

Perbandingan ada dua yaitu :
-Perbandingan Senilai, dan
-Perbandingan Berbalik Nilai 

- Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai adalah perbandingan yangmempunyai sifat jika besaran yang satu bertambah besar, besaran lain juga bertambah besar

Contoh :
a) Banyak pensil yang dibeli dengan besar uang yang dibayar
b) Jarak dengan kecepatan
Jika A dan B berbanding senilai,

A	B
X1	Y1
X2	Y2

maka berlaku :







- Perbandingan Berbalik Nilai

Pebandingan berbalik nilai adalah perbandingan yang mempunyai sifat jika besaran yang satu bertambah besar, besaran lainnya justru bertambah kecil.

Contoh : 
a) Banyak pekerjaan dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan perkerjaan
b) Waktu perjalanan dengan kecepatan
Jika A dan B berbanding terbalik nilai,

A	B
X1	Y1
X2	Y2

maka berlaku

Skala

 Skala

Skala merupakan perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sebenarnya. Skala digunakan pada peta, 

denah, dan rancangan benda. Penulisan skala misalnya 1 : 25.000, 1 : 500.000 , dan 1 : 750.000.

Contoh : 
- Peta dengan skala 1 : 50.000 berarti setiap 1 cm jarak pada peta mewakili 50.000 cm pada jarak sebenarnya.

 - Pada denah kebun diatas diketahui panjang pada denah kebun adalah 8cm dan lebar 5cm, dan memiliki skala 1 : 300. Maka?


panjang sebenarnya : 8cm x 300 = 2400cm = 24m


lebar sebenarnya     : 5cm x 300 = 1500cm = 15m


luas sebenarnya       : 24 x 15 = 360²

Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

1.	Pangkat Tiga Suatu Bilangan
	Di kelas V telah mengenal bilangan pangkat dua. Misalnya 52  dan 62,                     52  artinya 5 × 5. sehingga dapat ditulis 52  = 25. 62 artinya 6 × 6. sehingga dapat ditulis 62 = 36. 25 dan 36, disebut bilangan kuadrat. Dengan cara yang sama, kita dapat memahami pangkat tiga dari suatu bilangan. Misalnya, 53 dan 63 53 artinya 5 × 5 × 5 sehingga dapat ditulis 53 = 125 63 artinya 6 × 6 × 6 sehingga dapat ditulis 63 = 216 125 dan 216 disebut bilangan kubik karena bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan sebagai pangkat tiga dari suatu bilangan.
2.	Penarikan Akar Pangkat Tiga
	a. Menggunakan Tabel Bilangan Kubik Contoh: Carilah  = 1. Perhatikan pola bilangan kubik, 1.728 terletak diantara 1.000 dan 8.000 atau diantara 103 dan  203 ,  sehingga hasil dari  terletak antara 10 dan 20 dan     dapat dituliskan menjadi  dengan . 2. Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 8, 8 = 23 jadi nilai      Didapat  b. Menggunakan Faktorisasi Prima Langkah-langkah : 1. Tentukan faktor prima 2. Kelompokkan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama, sehingga dapat diganti dengan     faktorisasi prima berpangkat tiga. 3. Bilangan berpangkat tiga apabila ditarik akar pangkat tiganya, maka hasilnya bilangan     tersebut.()    Contoh: Carilah  =    1. Faktor prima dari 1728 adalah 2 dan 3, 1.728 = 26 × 33    2. Pengelompokan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama         1728 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)        = 23 × 23 × 33 Jadi

PENARIKAN AKAR PANGKAT DUA

PENARIKAN AKAR PANGKAT DUA

Penarikan akar pangkat dua kadang membuat siswa merasa kesulitan dalam memecahkannya. Terkadang banyak siswa juga yang menyelesaikannya dengan cara coba-coba. Misal ditanyakan akar pangkat dua dari 361. Siswa banyak yang menyelesaikannya dengan cara memangkatkan bilangan, jika bilangan yang dimisalkan hasilnya 361 maka itulah jawaban mereka.

Disini, saya akan sedikit memberikan cara penyelesaian dalam persoalan penarikan akar pangkat dua. Sebelum masuk pada penarikan akar, tekankan atau pastikan siswa telah memahami bilangan kuadrat dan hasil kuadratnya, yaitu sebagai berikut :

1 ²   =  1

2 ²  =  4

3 ²  =  9

4 ²  =  1 6

5 ²  =  2 5

6 ²  =  3 6

7 ²  =  4 9

8 ²  =  6 4

9 ²  =  8 1

10 ² =  10 0

Catatan :

Ingat masing-masing pasangan angka berdasarkan hasil kuadrat bilangan 1 – 10 di atas.

1        =  1    =  9

4        =  2   =  8

5        =  5

6        =  4   =  6

9        =  3   =  7

0        =  0

Setelah mengetahui pasangan-pasangan angka dari angka yang dikuadratkan dan hasil kuadratnya, kita mendapatkan cara untuk menyelesaikan soal penarikan akar pangkat dua, dengan menerapkan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut :

-       Pisahkan 2 angka paling belakang dengan angka di depannya dengan tanda ‘garis tegak’

-       Lihat angka paling belakang, cari pasangan angkanya.

-       Lihat angka di depan garis, cari angka yang berada di bawahnya di lihat dari hasil kuadrat, lalu di akar.

-       Keduanya di bulatkan dengan puluhan terdekat, lalu kuadratkan.

-       Dari hasil yang dikuadratkan, yang paling dekat dengan soal adalah jawabannya.

Contoh 1:

Tentukan penarikan akar pangkat dua dari 361 !

Penyelesaian :

-       Pisahkan 2 angka paling belakang dengan angka di depannya dengan tanda ‘garis tegak’

3 l 6 1

-       Lihat angka paling belakang (1), maka pasangan angkanya => 1 dan 9

Lihat angka di depan garis (3), angka yang berada di bawahnya di lihat dari hasil kuadrat (1), lalu di akar => 1

Keduanya di bulatkan dengan puluhan terdekat, lalu kuadratkan.

-       Dari hasil yang dikuadratkan, yang paling dekat dengan soal adalah jawabannya.

361 lebih dekat dengan 400, jadi jawabannya ‘19’

Contoh 2:

Tentukan penarikan akar pangkat dua dari 576 !

Penyelesaian :

-       Pisahkan 2 angka paling belakang dengan angka di depannya dengan tanda ‘garis tegak’

5 l 7 6

-       Lihat angka paling belakang (6), maka pasangan angkanya => 4 dan 6

Lihat angka di depan garis (5), angka yang berada di bawahnya di lihat dari hasil kuadrat (4), lalu di akar => 2

Keduanya di bulatkan dengan puluhan terdekat, lalu kuadratkan.

 -       Dari hasil yang dikuadratkan, yang paling dekat dengan soal adalah jawabannya.

576 lebih dekat dengan 400, jadi jawabannya ‘24’

Silahkan di coba untuk soal yang lainnya =)

Semoga bermanfaat : Y.A :)

Kesebangunan dan Kekongruenan

A. Pengertian kesebangunan

Perhatikan gambar persegi panjang ABCD dan PQRS di bawah ini! Pada persegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar yaitu 36 mm dan 24 mm, serta persegi panjang PQRS memiliki panjang dan lebar yaitu 58 mm dan 38 mm.

Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegi panjang PQRS adalah 36 : 144 atau 1 : 4. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 96 atau 1 : 4. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding). Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang tersebut, yaitu sebagai berikut.

AB/PQ = BC/QR = CD/RS = AD/PS = ¼

Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.

1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.

Contoh Soal 1

Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS, hitung panjang QR.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,

AB/PQ = BC/QR

2/6 = 5/QR

2QR = 30

QR = 15

Jadi, panjang QR adalah 15 cm.

Contoh Soal 2

Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah ini sebangun, tentukan besar∠R dan ∠S.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga ∠P = 125° dan ∠Q = 80°. Amati layang-layang PQRS, menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga ∠R = ∠P = 125°. Oleh karena sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka

∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°

125° + 80° + 125° + ∠S = 360°

∠S = 360° – 330° = 30°

B.Pengertian kekongruenan

Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.

Gambar di atas adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A => B, B => E, D => C, dan C => F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,

AB => BE sehingga AB = BE

BC => EF sehingga BC = EF

DC => CF sehingga DC = CF

AD => BC sehingga AD = BC

∠DAB =>  ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE

∠ABC =>  ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF

∠BCD =>  ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC

∠ADC =>  ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF

Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh

1. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan
2. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.

Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.

Berdasarkan uraian tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan  apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.

PQ = √(PR)2 - (QR)2

PQ = √(10)2 - (6)2

PQ = √64

PQ = 8

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S= 90°.  Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.