Garis dan Sudut

GARIS DAN SUDUT

Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk oleh dua buah  sinar garis yang titik pangkalnyaberimpit (bersekutu).

Bagian – bagian sudut :
1. Kaki sudut, sinar garis yang membentuk suatu sudut
2. Titik sudut, titik potong pangkal sinar dari kaki sudut
3. Daerah sudut, daerah yang terbentuk antara dua kaki sudut

 

Jenis – jenis Sudut

1. Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90⁰.
2. Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0 ⁰  dan  90 ⁰  atau 0 ⁰  < D < 90 ⁰, 
3. Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya di antara  90 ⁰  dan 180 ⁰  atau 90 ⁰  < D < 180 ⁰. 
4. Sudut lurus, yaitu sudut yang besarnya 180 ⁰.
5. Sudut refleks, yaitu sudut yang besarnya antara 180 ⁰ dan 360 ⁰, atau 180 ⁰ < D < 360 ⁰. 
Hubungan antar sudut
1. Sudut yang saling berpenyiku, dua sudut yang jumlah ukurannya 90 : ∠ ABD + ∠ DBC = 90

Jika dua buah sudut membentuk sudut siku-siku (90 ⁰), maka sudut yang satu merupakan penyiku  sudut yang lain dan keduasudut itu dikatakan  saling berpenyiku.(berkomplemen)

2. Sudut yang saling berpelurus, dua sudut yang jumlah ukurannya 180 : ∠ PQS + ∠ SQT + ∠ TQR = 180

Jika dua buah sudut membentuk sudut lurus, maka sudut yang satu  merupakan pelurus sudut yang lain dan kedua sudut itudikatakan saling berpelurus (bersuplemen).

HUBUNGAN ANTAR SUDUT JIKA DUA GARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARIS LAIN

1. Sudut sehadap, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8, ∠3 = ∠7.

2. Sudut dalam berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6
3. Sudut luar berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8
4. Sudut dalam sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠4 + ∠5 = 180, ∠3 + ∠6 = 180.
5. Sudut luar sepihak, jumlah keduanya adalah 180o. Yakni ∠2 + ∠7 = 180, ∠1 + ∠8 = 180.
6. Sudut bertolak belakang, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, ∠5 = ∠7, ∠6 = ∠8.

MENGENAL SATUAN SUDUT 

Ukuran sudut dalam derajat

1 derajat adalah besar sudut yang diputar oleh jari-jari lingkaran sejauh 1/360 putaran atau 1° = 1/360putaran

Ukuran sudut yang lebih kecil daripada derajat adalah menit (‘) dan detik (“)

Hubungan antara derajat, menit, dan detik dapat dinyatakan sebagai berikut :

1 derajat = 60 menit atau 1° = 60’

1 menit = 1/60 derajat atau 1’ = 1/60°

1 menit = 60 detik atau 1’ = 60”

1 detik = 1/60 menit atau 1” = 1/60’

Ukuran sudut dalam radian

1 radian sama dengan besar sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya samadengan jari-jari

1° = p/180 radian atau 1 radian = 180°/p

Jika nilai p = 3,14159 maka hubungannya dapat juga dinyatakan :

1° = p/180 radian = 3,14159/180 = 0,017453 atau

1 radian = 180°/p = 180°/3,14159 = 57,296°

Diagonal bidang dan ruang pada kubus

Diagonal Bidang Kubus

Diagonal bidang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus. Sekarang coba perhatikan bidang ABEF pada gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut B dan E disebut diagonal bidang kubus. Setiap bidang pada kubus mempunyai dua diagonal bidang. Karena kubus memiliki 6 bidang sisi, maka kubus memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada kubus?

Diagonal bidang atau sisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar kuubus di bawah ini.

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BE dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga ABE siku-siku di A. Sehingga:

BE = √(AB² + AE²)

BE = √(s² + s²)

BE = √2s²

BE = s√2

Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan:

b = s√2

Diagonal Ruang Kubus

Diagonal ruang pada kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang di dalam kubus. Sekarang coba perhatikan gambar berikut di bawah ini. 

Garis BH disebut diagonal ruang. Selain garis BH, ada juga garis AG, garis DF, dan garis CE yang merupakan diagonal ruang kubus. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu kubus memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang balok?

Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD  siku-siku di A. Sehingga:

BD = s√2

Sekarang cari panjang BH dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH  siku-siku di D. Sehingga:

BH = √(BD² + DH²)

BH = √(s√2)² + s²)

BH = √(2s² + s²)

BH = √(3s²)

BH = s√3 

Misalkan diagonal ruang kubus adalah d, maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan:

d = s√3 

Bidang Diagonal Kubus

Bidang diagonal suatu kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus. Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini. 

Bidang ABGH disebut bidang diagonal. Kubus memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal?

Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Sekarang coba perhatikan kembali gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ABGH yakni:
Luas ABGH = AB . BG
Luas ABGH = s . s√2
Luas ABGH = s²√2 

Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soa
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Hitunglah panjang diagonal bidang, diagonal ruang dan luas salah satu bidang diagonal kubus tersebut.
 
Penyelesaian:
Panjang diagonal bidang yakni:

b = s√2

b = 5√2 cm

Panjang diagonal ruang yakni:

d = s√3

d = 5√3 cm

Luas bidang diagonal yakni: 

Luas = s²√2 

Luas = (5 cm)²√2

Luas = 25√2 cm² 

Kesimpulan:

Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga dimiliki oleh balok.

1. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. 
2. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH. 
3. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. 
4. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF . 
5. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF.
6. Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC.

Demikian postingan Mafia Online tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal kubus serta contoh soal dan pembahasannya. Mohon maaf jika ada kesalahan kata atau perhitungan.

Sifat - sifat Bangun Ruang

Bangun Ruang

KUBUS

1. Kubus merupakan bangun ruang dengan 6 sisi sama besar (kongruen)
2. Kubus mempunyai 6 sisi berbentuk persegi.
3. Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang.
4. Kubus mempunyai 8 titik sudut.
5. Jaring-karing kubus berupa 6 buah persegi yang kongruen.
6. Mempunyai 4 buah bidang diagonal
7. Mempunyai 12 buah diagonal bidang
8. Semua bidang sisinya kongruen
9. Semua rusuknya sama panjang

   
BALOK

1. Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi 6 persegi panjang dimana 3 persegi panjang kongruen.
2. Balok mempunyai 6 sisi berbentuk persegi panjang.
3. Balok mempunyai 12 rusuk.
4. Balok mempunyai 8 titik sudut.
5. Jaring-jaring balok berupa 6 buah persegi panjang.
6. Mempunyai 4 buah bidang diagonal
7. Mempunyai 12 buah diagonal bidang
8. Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen.
9. 4 buah rusuk yang sejajar sama panjang.

PRISMA SEGITIGA

1.  Prisma merupakan bangun ruang yang alas dan atasnya kongruen dan sejajar.
2. Prisma mempunyai 5 sisi
3. Mempunyai 9 rusuk
4. Mempunyai 6 titik sudut
5. Jaring-jaring prisma berupa 3 persegi panjang dan 2 segitiga
6. Tidak memiliki bidang diagonal
7. Mempunyai 6 diagonal bidang
8. Prisma mempunyai 3 sisi tegak yang kongruen, alas dan atas yang kongruen pula
9. 3 buah rusuk tegak prisma sejajar dan sama panjang yang lainnya saling berpotongan
10. Rusuk tegak prisma tegak lurus dengan alas dan atas prisma.
11. Rusuk tegak prisma disebut juga tinggi prisma.
12. Prisma terdiri dari prisma segitiga dan prisma beraturan.

LIMAS

1.  Limas adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas segi banyak dan dari bidang alas tersebut dibentuk suatu sisi berbentuk segitiga yang akan bertemu pada satu titik.
2. Limas segitiga mempunyai 4 sisi
3. Limas segitiga mempunyai 6 rusuk
4. Mempunyai 4 titik sudut
5. Jaring-jaring limas berupa 4 segitiga
6. Tidak memiliki bidang diagonal
7. Tidak mempunyai diagonal bidang
8. Prisma mempunyai 3 sisi tegak yang kongruen dan sebuah alas segitiga
9. 6 buah rusuk tegak limas saling berpotongan
10. Rusuk tegak limas tidak tegak lurus dengan alas dan atas limas

11. Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke alas limas.
12. Nama limas ditentukan oleh bentuk alasnya.
13. Limas beraturan yaitu limas yang alasnya berupa segi beraturan.

KERUCUT

1. Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran.
2. Kerucut mempunyai 2 sisi.
3. Kerucut tidak  mempunyai rusuk.
4. Kerucut mempunyai 1 titik sudut.
5. Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segi tiga.

1. Tidak mempunyai bidang diagonal
2. Tidak mempunyai diagonal bidang

TABUNG
 

1.  Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan bidang alas dan atas berupa lingkaran.
2. Tabung mempunyai 3 buah sisi, 1 persegi panjang, 2 lingkaran
3. Tidak mempunyai rusuk
4. Tidak mempunyai titik sudut
5. Tidak mempunyai bidang diagonal
6. Tidak mempunyai diagonal bidang
7. tabung mempunyai sisi alas dan atas berhadapan yang kongruen.
8. Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik pusat lingkaran atas.
9. Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung.

5. Jaring-jaring tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegi panjang.

BOLA

1. Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputar mengelilingi garis tengahnya
2. Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat.
3. Bola tidak mempunyai rusuk.
4. Bola tidak mempunyai titik sudut
5. Tidak mempunyai bidang diagonal
6. Tidak mempunyai diagonal bidang
7. Sisi bola disebut dinding bola.
8. Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari.
9. Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter.

Perbandingan berbalik nilai

Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan dikatakan perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan tersebut selalu tetap (konstan) walaupun perbandingannya dibalik.

6.            Sebanyak 150 ekor sapi dapat menghabiskan persediaan makanan yang ada dalam waktu 2 bulan. Jika 50 ekor sapi telah di jual, berapa hari lagi persediaan makanan akan habis.?

Jawab:
2 bulan =60 hari
Sapi yang ada setelah dijual sebanyak 50 ekor adalah = 100 ekor
150/100 = ?/60 
? = 150 . 60 / 100 = 90 hari
Jadi persediaan makanan akan habis 90 hari lagi

7.            Perhatikan table berikut :

ayam	waktu
72	10
90	x

Sekarang kita tentukan nilai x tersebut dengan cara menggunkan perhitungan perbandingan berbalik nilai, seperti berikut.

 72/90 = x/10

90x = 72 x 10

x = 72 x 10 / 90

x = 8

Jadi, persediaan pakan ayam untuk 90 ekor akan habis selama 8 hari.

pekerja	waktu
120	10
x	12

Terlebih dahulu tentukan nilai x tersebut dengan cara menggunkan perhitungan perbandingan berbalik nilai, seperti berikut.

120/x = 12/10

x = 120 x 12 / 10

x = 144 pekerja

9.            Jika dalam waktu 100 hari ayam ternak dapat diurus 5 pegawai , maka dalam waktu waktu 50 hari berapa pegawai yang dibutuhkan ?

100/x = 5/2

X = 100 x 2 / 5

X = 40 pegawai

10.         Jika dalam waktu 10 hari ayam ternak dapat bertelur sebanyak 100 , maka dalam waktu 2 hari berapa telur yang dihasilkan ?

100/x = 5/2

X = 100 x 2 / 10

X = 20

Perbandingan Senilai

Perbandingan Senilai 

1.             harga 2 kg bawang merah adalah Rp 5.000,00, tentukan 4 kg bawang merah.

Jawab:
2 : 4 = 5000 : x 
2/4 = 5000/x
2x = 5000 x 4
X = 10.000

2.            harga 3 buah tas adalah Rp 12.000,00, tentukan 4 buah tas.

Jawab : 
3 : 4 = 12.000 : x 
3/4 = 12.000/x
3x = 12.000 x 4
X = 16.000

3.            harga 7 kg telur adalah Rp 14.000,00, tentukan 2 kg telur.

Jawab:
7 : 2 = 14.000 : x 
7/2 = 14.000/x
7x = 14.000 x 2
X = 4.000

4.            harga 5 kg jeruk adalah Rp 5.000,00, tentukan 10 kg jeruk.

Jawab:
5 : 10 = 5000 : x 
5/10 = 5000/x
5x = 5000 x 10
X = 10.000

5.            harga 2 kg bawang putih adalah Rp 5.000,00, tentukan 4 kg bawang putih.

Jawab:
2 : 4 = 5000 : x 
2/4 = 5000/x
2x = 5000 x 4
X = 10.000