Bidang Koordinat Cartesius

MENENTUKAN TITIK PADA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Bidang datar disamping disebut bidang koordinat yang dibentuk oleh garis tegak Y (sumbu Y)  dan garis mendatar X (sumbu X). Titik perpotongan antara garis Y dan garis X disebut pusat Koordinat (titik O). Bidang koordinat tersebut dikenal dengan bidang koordinat Cartesius. Bidang koordinat Cartesius digunakan untuk menentukan letak sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan bilangan. Perhatikan titik A, B, C, dan D padabidang tersebut. Untuk menentukan letaknya, mulailah dari titik O. Kemudian, bergerak mendatar kea rah kanan (sumbu X), lalu bergerak ke atas (sumbu Y).

Letak titik pada bidang koordinat Cartesius ditulis dalam bentuk pasangan bilangan (x, y): x disebut absis dan y disebut ordinat. Pada bidang koordinat tersebut, titik A terletak pada koordinat (1,0), ditulis A(1,0), titik B terletak pada koordinat (2,4), ditulis B(2,4), titik C terletak pada koordinat (5,7), ditulis dengan C(5,7), dan titik D terletak pada koordinat (6,4) ditulis D(6,4).

Bidang koordinat Cartesius dapat diperluas menjadi seperti pada gambar berikut ini:

Contoh:

• Koordinat titik E adalah (2,2)
• Koordinat titik F adalah (-2,1), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak dua satuan lalu tegak keatas sebanyak satu satuan.
• Koordinat titik G adalah (-3,-3), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak tiga satuan lalu tegak ke bawah sebanyak tiga satuan.

Perbandingan

Perbandingan 

Perbandingan ada dua yaitu :
-Perbandingan Senilai, dan
-Perbandingan Berbalik Nilai 

- Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai adalah perbandingan yangmempunyai sifat jika besaran yang satu bertambah besar, besaran lain juga bertambah besar

Contoh :
a) Banyak pensil yang dibeli dengan besar uang yang dibayar
b) Jarak dengan kecepatan
Jika A dan B berbanding senilai,

A	B
X1	Y1
X2	Y2

maka berlaku :







- Perbandingan Berbalik Nilai

Pebandingan berbalik nilai adalah perbandingan yang mempunyai sifat jika besaran yang satu bertambah besar, besaran lainnya justru bertambah kecil.

Contoh : 
a) Banyak pekerjaan dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan perkerjaan
b) Waktu perjalanan dengan kecepatan
Jika A dan B berbanding terbalik nilai,

A	B
X1	Y1
X2	Y2

maka berlaku

Skala

 Skala

Skala merupakan perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sebenarnya. Skala digunakan pada peta, 

denah, dan rancangan benda. Penulisan skala misalnya 1 : 25.000, 1 : 500.000 , dan 1 : 750.000.

Contoh : 
- Peta dengan skala 1 : 50.000 berarti setiap 1 cm jarak pada peta mewakili 50.000 cm pada jarak sebenarnya.

 - Pada denah kebun diatas diketahui panjang pada denah kebun adalah 8cm dan lebar 5cm, dan memiliki skala 1 : 300. Maka?


panjang sebenarnya : 8cm x 300 = 2400cm = 24m


lebar sebenarnya     : 5cm x 300 = 1500cm = 15m


luas sebenarnya       : 24 x 15 = 360²

Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

1.	Pangkat Tiga Suatu Bilangan
	Di kelas V telah mengenal bilangan pangkat dua. Misalnya 52  dan 62,                     52  artinya 5 × 5. sehingga dapat ditulis 52  = 25. 62 artinya 6 × 6. sehingga dapat ditulis 62 = 36. 25 dan 36, disebut bilangan kuadrat. Dengan cara yang sama, kita dapat memahami pangkat tiga dari suatu bilangan. Misalnya, 53 dan 63 53 artinya 5 × 5 × 5 sehingga dapat ditulis 53 = 125 63 artinya 6 × 6 × 6 sehingga dapat ditulis 63 = 216 125 dan 216 disebut bilangan kubik karena bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan sebagai pangkat tiga dari suatu bilangan.
2.	Penarikan Akar Pangkat Tiga
	a. Menggunakan Tabel Bilangan Kubik Contoh: Carilah  = 1. Perhatikan pola bilangan kubik, 1.728 terletak diantara 1.000 dan 8.000 atau diantara 103 dan  203 ,  sehingga hasil dari  terletak antara 10 dan 20 dan     dapat dituliskan menjadi  dengan . 2. Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 8, 8 = 23 jadi nilai      Didapat  b. Menggunakan Faktorisasi Prima Langkah-langkah : 1. Tentukan faktor prima 2. Kelompokkan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama, sehingga dapat diganti dengan     faktorisasi prima berpangkat tiga. 3. Bilangan berpangkat tiga apabila ditarik akar pangkat tiganya, maka hasilnya bilangan     tersebut.()    Contoh: Carilah  =    1. Faktor prima dari 1728 adalah 2 dan 3, 1.728 = 26 × 33    2. Pengelompokan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama         1728 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)        = 23 × 23 × 33 Jadi

PENARIKAN AKAR PANGKAT DUA

PENARIKAN AKAR PANGKAT DUA

Penarikan akar pangkat dua kadang membuat siswa merasa kesulitan dalam memecahkannya. Terkadang banyak siswa juga yang menyelesaikannya dengan cara coba-coba. Misal ditanyakan akar pangkat dua dari 361. Siswa banyak yang menyelesaikannya dengan cara memangkatkan bilangan, jika bilangan yang dimisalkan hasilnya 361 maka itulah jawaban mereka.

Disini, saya akan sedikit memberikan cara penyelesaian dalam persoalan penarikan akar pangkat dua. Sebelum masuk pada penarikan akar, tekankan atau pastikan siswa telah memahami bilangan kuadrat dan hasil kuadratnya, yaitu sebagai berikut :

1 ²   =  1

2 ²  =  4

3 ²  =  9

4 ²  =  1 6

5 ²  =  2 5

6 ²  =  3 6

7 ²  =  4 9

8 ²  =  6 4

9 ²  =  8 1

10 ² =  10 0

Catatan :

Ingat masing-masing pasangan angka berdasarkan hasil kuadrat bilangan 1 – 10 di atas.

1        =  1    =  9

4        =  2   =  8

5        =  5

6        =  4   =  6

9        =  3   =  7

0        =  0

Setelah mengetahui pasangan-pasangan angka dari angka yang dikuadratkan dan hasil kuadratnya, kita mendapatkan cara untuk menyelesaikan soal penarikan akar pangkat dua, dengan menerapkan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut :

-       Pisahkan 2 angka paling belakang dengan angka di depannya dengan tanda ‘garis tegak’

-       Lihat angka paling belakang, cari pasangan angkanya.

-       Lihat angka di depan garis, cari angka yang berada di bawahnya di lihat dari hasil kuadrat, lalu di akar.

-       Keduanya di bulatkan dengan puluhan terdekat, lalu kuadratkan.

-       Dari hasil yang dikuadratkan, yang paling dekat dengan soal adalah jawabannya.

Contoh 1:

Tentukan penarikan akar pangkat dua dari 361 !

Penyelesaian :

-       Pisahkan 2 angka paling belakang dengan angka di depannya dengan tanda ‘garis tegak’

3 l 6 1

-       Lihat angka paling belakang (1), maka pasangan angkanya => 1 dan 9

Lihat angka di depan garis (3), angka yang berada di bawahnya di lihat dari hasil kuadrat (1), lalu di akar => 1

Keduanya di bulatkan dengan puluhan terdekat, lalu kuadratkan.

-       Dari hasil yang dikuadratkan, yang paling dekat dengan soal adalah jawabannya.

361 lebih dekat dengan 400, jadi jawabannya ‘19’

Contoh 2:

Tentukan penarikan akar pangkat dua dari 576 !

Penyelesaian :

-       Pisahkan 2 angka paling belakang dengan angka di depannya dengan tanda ‘garis tegak’

5 l 7 6

-       Lihat angka paling belakang (6), maka pasangan angkanya => 4 dan 6

Lihat angka di depan garis (5), angka yang berada di bawahnya di lihat dari hasil kuadrat (4), lalu di akar => 2

Keduanya di bulatkan dengan puluhan terdekat, lalu kuadratkan.

 -       Dari hasil yang dikuadratkan, yang paling dekat dengan soal adalah jawabannya.

576 lebih dekat dengan 400, jadi jawabannya ‘24’

Silahkan di coba untuk soal yang lainnya =)

Semoga bermanfaat : Y.A :)

Kesebangunan dan Kekongruenan

A. Pengertian kesebangunan

Perhatikan gambar persegi panjang ABCD dan PQRS di bawah ini! Pada persegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar yaitu 36 mm dan 24 mm, serta persegi panjang PQRS memiliki panjang dan lebar yaitu 58 mm dan 38 mm.

Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegi panjang PQRS adalah 36 : 144 atau 1 : 4. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 96 atau 1 : 4. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding). Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang tersebut, yaitu sebagai berikut.

AB/PQ = BC/QR = CD/RS = AD/PS = ¼

Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.

1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.

Contoh Soal 1

Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS, hitung panjang QR.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,

AB/PQ = BC/QR

2/6 = 5/QR

2QR = 30

QR = 15

Jadi, panjang QR adalah 15 cm.

Contoh Soal 2

Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah ini sebangun, tentukan besar∠R dan ∠S.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga ∠P = 125° dan ∠Q = 80°. Amati layang-layang PQRS, menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga ∠R = ∠P = 125°. Oleh karena sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka

∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°

125° + 80° + 125° + ∠S = 360°

∠S = 360° – 330° = 30°

B.Pengertian kekongruenan

Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.

Gambar di atas adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A => B, B => E, D => C, dan C => F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,

AB => BE sehingga AB = BE

BC => EF sehingga BC = EF

DC => CF sehingga DC = CF

AD => BC sehingga AD = BC

∠DAB =>  ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE

∠ABC =>  ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF

∠BCD =>  ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC

∠ADC =>  ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF

Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh

1. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan
2. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.

Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.

Berdasarkan uraian tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan  apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.

PQ = √(PR)2 - (QR)2

PQ = √(10)2 - (6)2

PQ = √64

PQ = 8

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S= 90°.  Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

Bangun Ruang Matematika

Bangun Ruang Matematika

Bangun ruang adalah bangun matematika yang mempunyai isi ataupun volume.

Bagian-bagian bangun ruang :

1. Sisi:  bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya.
2. Rusuk:  pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangun ruang.
3. Titik sudut: titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih.

Jenis-jenis bangun ruang yang umum dikenal adalah:

1. Balok
2. Kubus
3. Prisma
4. Limas
5. Kerucut
6. Tabung dan
7. Bola

RUMUSNYA 

1.    Kubus

 Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar.

a.    Luas Permukaan kubus
              L= 6 a2
b.    Volume Kubus
V = a x a x a atau V = a3

2. Balok

Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang yang berbentuk persegi panjang dan sepasang-sepasang kongruen.

Keterangan : 
p = panjang balok
l =lebar balok
t = tinggi balok
a.    Luas balok:
     L = 2 (p.l +p.t + l.t)
b.    Volume balok:
     V = p x l x t

3.Tabung (silinder)

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi yang kongruen dan sejajar yang berbentuk lingkaran serta sebuah sisi lengkung.

Keterangan:

r = jari-jari tutup/alas tabung                    t = tinggi tabung

Volume tabung = luas alas x tinggi               

Luas alas = luas lingkaran = πr2

Volume tabung = π r 2 t

Keliling lingkaran alas/tutup = 2πr

Luas Selimut= 2πrt

Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut tabung

Luas Permukaan Tabung = 2 (π r 2 )+ 2 π r t = 2 π r ( r + t )

4. Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.

 Keterangan:

r = jari-jari alas kerucut                        t = tinggi kerucut
Luas selimut = π x r x s

Luas alas = π x r 2

Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut

Luas Permukaan kerucut = πr2 + πrs = π r (r + s)

Volume Kerucut =1/3 x Luas alas x tinggi = 1/3 π r2 t

5. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang sejajar dimana bidang-bidang sejajar tersebut merupakan bidang atas dan bidang atas (tutup). 

Rumus-rumus pada prisma:
Luas Permukaan Prisma                V = L alas x t
Luas = (2 x luas alas) + luas sisi tegak
Volume Prisma

6.Limas 

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi sebagai bidang alas dan beberapa bidang tegak berbentuk segitiga. 

Volume Limas :
Volume = luas alas x tinggi x

7. Bola

R = jari-jari bola
Luas Permukaan bola
Luas = 4